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⑴의 증명

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} c = c + c + c + c + \cdots + c = cn \end{align*}$$

⑵의 증명

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} c a_k &= ca_1 + ca_2 + ca_3 + ca_4 + \cdots + ca_n \\ &= c ( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_n ) = c \sum_{k=1}^{n} a_k \end{align*}$$

⑶의 증명

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} ( a_k \pm b_k ) &= ( a_1 \pm b_1 ) + ( a_2 \pm b_2 ) + \cdots + ( a_n \pm b_n ) \\ &= ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) \pm ( b_1 + b_2 + \cdots + b_n ) \\ &= \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k \end{align*}$$

⑴의 증명

첫째항이 $1$, 제$n$항이 $n$인 등차수열의 합이므로 $\dfrac{n(1+n)}{2}$

⑵의 증명

$(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$

$k=1$을 대입하면 \ $2^3 - 1^3 = 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1$

$k=2$을 대입하면 \ $3^3 - 2^3 = 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1$

$k=3$을 대입하면 \ $4^3 - 3^3 = 3 \times 3^2 + 3 \times 3 + 1$

    $\vdots$

$k=n$을 대입하면 \ $(n+1)^3 - n^3 = 3 \times n^2 + 3 \times n + 1$

변변 더하면

$\displaystyle (n+1)^3 - 1^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$$\begin{align*} \therefore \ \ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}$$

⑶의 증명

$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$을 이용하여 ⑵와 같은 방법으로 증명한다.