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1. 중심이 점 $ C(a, \ b) $, 반지름의 길이가 $ r $인 원의 방정식은
   \begin{gather*}
   (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
   \end{gather*}
2. 중심이 원점, 반지름의 길이가 $ r $인 원의 방정식은
   \begin{gather*}
   x^2 + y^2 = r^2
   \end{gather*}

1. 중심이 $ (a, \ b) $이고 $ x $축에 접하는 원은
   \begin{gather*}
   ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } y \textrm{좌표} ) |
   \end{gather*}이므로
   \begin{gather*}
   (x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2
   \end{gather*}
2. 중심이 $ (a, \ b) $이고 $ y $축에 접하는 원은
   \begin{gather*}
   ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } x \textrm{좌표} ) |
   \end{gather*}이므로
   \begin{gather*}
   (x-a)^2 + (y-b)^2 = a^2
   \end{gather*}
3. $ x $축과 $ y $축에 동시에 접하는 원은
   \begin{gather*}
   ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } x \textrm{좌표} ) | = | ( \textrm{중심의 } y \textrm{좌표} ) |
   \end{gather*}이므로, 반지름의 길이를 $ r $이라 할 때
   ① 중심이 제1사분면 위에 있으면 $ (x-r)^2 + (x-r)^2 = r^2 $
   ② 중심이 제2사분면 위에 있으면 $ (x+r)^2 + (x-r)^2 = r^2 $
   ③ 중심이 제3사분면 위에 있으면 $ (x+r)^2 + (x+r)^2 = r^2 $
   ④ 중심이 제4사분면 위에 있으면 $ (x-r)^2 + (x+r)^2 = r^2 $

$ x $, $ y $에 대한 이차방정식

\begin{gather*}
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \ \ (A^2 + B^2 - 4C > 0)
\end{gather*}

은 중심이 점 $ \left(-\dfrac{A}{2}, \ -\dfrac{B}{2} \right) $, 반지름의 길이가 $ \dfrac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4C}}{2} $인 원이다.

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원

\begin{gather*}
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, \ \ x^2 + y^2 + A'x + B'y + C' = 0
\end{gather*}

의 교점을 지나는 도형의 방정식은

\begin{gather*}
( x^2 + y^2 + Ax + By + C ) + k ( x^2 + y^2 + A'x + B'y + C' ) = 0
\end{gather*}

이고, $ k \neq -1 $이면 원, $ k=-1 $이면 직선이다.

좌표평면 위의 두 정점 $ A $, $ B $에 대하여

\begin{gather*}
\overline{AP}:\overline{PB} = m:n \ ( m>0 , \ n>0 , \ m \neq n)
\end{gather*}

을 만족하는 점 $ P $가 나타내는 도형은 선분 $ AB $를 $ m:n $으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원이다.

• 좌표평면 위의 두 점 $ (x_1, \ y_1) $, $ (x_2, \ y_2) $를 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식은
  \begin{gather*}
  (x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0
  \end{gather*}증명 : 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식