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수열 $ \{ a_n \} $에서 $ n $이 한없이 커질 때 $ a_n $이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 수열 $ \{ a_n \} $은 $ \alpha $에 수렴한다고 하고, 기호로

\begin{align*}
n \rightarrow \infty\textrm{ 일 때 }a_n \rightarrow \alpha \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha
\end{align*}

와 같이 나타낸다. 이 때 $ \alpha $를 수열 $ \{ a_n \} $의 극한 또는 극한값이라 한다.

1. 수열 $ \{ a_n \} $이 수렴하지 않을 때, 수열 $ \{ a_n \} $은 발산한다고 하며 극한값은 없다.
2. 수열 $ \{ a_n \} $에서 $ n $이 한없이 커질 때, 일반항 $ a_n $의 값도 한없이 커지면 이 수열은 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
   \begin{align*}
   n \rightarrow \infty\textrm{ 일 때 }a_n \rightarrow \infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty
   \end{align*}와 같이 나타낸다.
3. 수열 $ \{ a_n \} $에서 $ n $이 한없이 커질 때, 일반항 $ a_n $의 값이 음수이면서 절댓값이 한없이 커지면 이 수열은 음의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
   \begin{align*}
   n \rightarrow \infty\textrm{ 일 때 }a_n \rightarrow -\infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty
   \end{align*}와 같이 나타낸다.
4. 수열 $ \{ a_n \} $에서 $ n $이 한없이 커질 때, 일정한 값에 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않으면 이 수열은 진동한다고 한다.