MATH FACTORY

수학과 영어 두 시험에서 둘 다 70점을 맞았습니다. 그런데, 수학 성적 평균은 60점, 영어 성적 평균은 80점입니다.

점수는 70점으로 같지만, 수학은 평균보다 높으니 남들보다 잘하는 편에 속하고, 영어는 평균보다 낮으니 남들보다 못하는 편에 속합니다.

즉, 점수만 가지고는 그 과목을 남들보다 잘하는지 못하는지 파악할 수가 없습니다.

이를 해결하기 위해 만들어진 것이 표준점수입니다.

표준점수는 평균이 100점, 표준편차가 20점이라고 가정할 때의 점수로, 평균보다 잘봤다면 100점보다 높은 점수가되고, 평균보다 못봤다면 100점보다 낮은 점수가 됩니다.

점수의 분포는 정규분포라고 가정합니다. 표준점수를 $ \mathrm{Y} $라고 하면 $ \mathrm{Y} $는 $ \mathrm{N(100, \ 20^2)} $을 따릅니다.

예를 들어 평균이 50점, 표준편차가 10점인 시험에서 70점을 받았을 때의 표준점수를 계산해보겠습니다. (아래 내용은 확률과 통계의 통계적 추정을 공부해야 이해할 수 있습니다.)

원점수도 정규분포를 따른다고 가정하므로, 원점수를 $ \mathrm{X} $라 하면 $ \mathrm{X} $는 $ \mathrm{N(50, \ 10^2)} $을 따르고, 원점수에서의 $ \mathrm{Z} $값과 표준점수에서의 $ \mathrm{Z} $값이 같아야 하므로 다음과 같이 방정식을 세웁니다.

\begin{gather*}
  \frac{70-50}{10} = \frac{\mathrm{Y}-100}{20}
\end{gather*}

위 방정식을 풀면 표준점수는 140점이 됩니다.

공식으로 만들어볼까요?

원점수의 평균을 $ m $, 표준편차를 $ \sigma $, 원점수를 $ \mathrm{X} $, 표준점수를 $ \mathrm{Y} $라고 하면

\begin{gather*}
  \frac{\mathrm{X}-m}{\sigma} = \frac{\mathrm{Y}-100}{20}
\end{gather*}

가 성립하고, 이를 변형하면

\begin{gather*}
  \mathrm{Y} = 20 \times \frac{\mathrm{X}-m}{\sigma} + 100
\end{gather*}

가 됩니다.

표준점수는 원점수의 평균이 낮거나 표준편차가 작으면 커집니다. 다시말하면 남들이 못하는 걸 잘해야 표준점수가 높아지는 것입니다. 그래서 영어를 잘하는 것보다 수학을 잘하는 것이 표준점수 측면에서는 보통 유리합니다.