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두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$가 이루는 각의 크기를 $\theta \ ( 0 \leq \theta \leq \pi)$라 할 때 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{align*} \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos \theta \end{align*}$$

$\overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2)$, $\overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2)$이면

$$\begin{align*} \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1b_1+a_2b_2 \end{align*}$$

세 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$와 실수 $m$에 대하여

1. $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a}$
2. $( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) = \overrightarrow{a} \bullet ( m \overrightarrow{b} )$
3. $\overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c}$

영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2)$, $\overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2)$가 이루는 각의 크기가 $\theta$($0 \leq \theta \leq \pi$)일 때

$$\begin{gather*} \cos \theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2} \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2}} \end{gather*}$$

$\overrightarrow{a} \neq 0$, $\overrightarrow{b} \neq 0$일 때

1. 벡터의 수직조건 : $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0$
2. 벡터의 평행조건 : $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \pm | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} |$