MATH FACTORY

시점을 한 점 $ {O} $로 고정시키면 $ \overrightarrow{{OA}} $와 평면 위의 한 점 $ {A} $는 일대일 대응한다. 이 때 $ \overrightarrow{{OA}} $를 점 $ {O} $에 대한 점 $ {A} $의 위치벡터라 한다.

선분 $ {AB} $를 $ m : n \ (m>0, \ n>0) $으로 내분하는 점을 $ {P} $, 외분하는 점을 $ {Q} $, 중점을 $ {D} $라 하고 점 $ {A} $, $ {B} $, $ {P} $, $ {Q} $, $ {D} $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{p} $, $ \overrightarrow{q} $, $ \overrightarrow{d} $라 하면

1. $ \overrightarrow{p} = \dfrac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n} $
2. $ \overrightarrow{q} = \dfrac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n} $
3. $ \overrightarrow{d} = \dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2} $

$ \triangle {ABC} $의 무게중심을 $ G $라 하고 점 $ A $, $ B $, $ C $, $ G $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{g} $하 하면

\begin{gather*}
\overrightarrow{g} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\end{gather*}

점 $ O $를 원점으로 하는 좌표평면에서 두 점 $ E_1 (1, \ 0) $, $ E_2 (0, \ 1) $의 위치벡터 $ \overrightarrow{OE_1} $, $ \overrightarrow{OE_2} $를 각각 단위벡터 $ \overrightarrow{e_1} $, $ \overrightarrow{e_2} $로 나타낸다.

$ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{{OA}} $에서 $ {O}(0, \ 0) $, $ {A}(a_1, \ a_2) $라 하면 $ \overrightarrow{a} $는

\begin{gather*}
a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}
\end{gather*}

로 나타낼 수 있다. 이때 $ a_1 $을 $ \overrightarrow{a} $의 $ x $성분, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 $ y $성분이라 하고, $ a_1 $, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 성분이라고 한다. 또 $ \overrightarrow{a} $를 성분을 사용하여

\begin{gather*}
(a_1, \ a_2)
\end{gather*}

와 같이 나타낸다.

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $일 때, $ \overrightarrow{a} $의 크기는

\begin{gather*}
|\overrightarrow{a}| = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}
\end{gather*}

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $가 서로 같으면

\begin{gather*}
\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_1 = b_1, \ a_2 = b_2
\end{gather*}

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이고 $ m $이 실수일 때

1. $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_1+b_1, \ a_2+b_2) $
2. $ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (a_1-b_1, \ a_2-b_2) $
3. $ m\overrightarrow{a} = (m a_1, \ m a_2) $

좌표평면 위의 두 점 $ A(a_1, \ a_2) $, $ B(b_1, \ b_2) $에 대하여

1. $ \overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, \ b_2 - a_2) $
2. $ | \overrightarrow{AB} | = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} $