MATH FACTORY

1. 두 점 $ (c, \ 0) $, $ (-c, \ 0) $으로부터의 거리의 차가 $ 2a $인 쌍곡선 위의 임의의 점을 $ (x, \ y) $라 하면 쌍곡선의 정의에 따라 다음 식이 성립한다. (단, $ c > a > 0 $)
   \begin{gather*}
   \left| \sqrt{(x-c)^2+y^2} - \sqrt{(x+c)^2+y^2} \right| = 2a \\
   \therefore \ \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} \pm 2a
   \end{gather*}양변을 제곱하여 정리하면
   \begin{align*}
   \pm a \sqrt{(x+c)^2+y^2} = a^2 + cx
   \end{align*}이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면
   \begin{align*}
   (c^2-a^2) x^2 - a^2 y^2 = a^2 (c^2-a^2)
   \end{align*}이다. $ c^2 - a^2 = b^2 \ (b>0) $으로 놓고 정리하면
   \begin{align*}
   \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (\textrm{단}, \ b^2 = c^2-a^2)
   \end{align*}
2. 두 점 $ (0, \ c) $, $ (0, \ -c) $으로부터의 거리의 차가 $ 2b $인 쌍곡선 위의 임의의 점을 $ (x, \ y) $라 하면 쌍곡선의 정의에 따라 다음 식이 성립한다. (단, $ c > b > 0 $)
   \begin{gather*}
   \left| \sqrt{x^2+(y-c)^2} - \sqrt{x^2+(y+c)^2} \right| = 2b \\
   \therefore \ \sqrt{x^2+(y-c)^2} = \sqrt{x^2+(y+c)^2} \pm 2b
   \end{gather*}양변을 제곱하여 정리하면
   \begin{align*}
   \pm b \sqrt{x^2+(y+c)^2} = b^2 + cy
   \end{align*}이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면
   \begin{align*}
   b^2 x^2 - ( c^2 - b^2 ) y^2 = - b^2 (c^2-b^2)
   \end{align*}이다. $ c^2 - b^2 = a^2 \ (a>0) $으로 놓고 정리하면
   \begin{align*}
   \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = - 1 \ \ (\textrm{단}, \ a^2 = c^2-b^2)
   \end{align*}

쌍곡선 $ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \pm 1 $을 $ y $에 관하여 풀면

\begin{align*}
y &= \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2} = \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2 \left( 1 \mp \frac{a^2}{x^2} \right)} \\
&= \pm \frac{b}{a} x \sqrt{\left( 1 \mp \frac{a^2}{x^2} \right)}
\end{align*}

이고,

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow \infty} \pm \frac{b}{a} x \sqrt{\left( 1 \mp \frac{a^2}{x^2} \right)} &= \lim_{x \rightarrow -\infty} \pm \frac{b}{a} x \sqrt{\left( 1 \mp \frac{a^2}{x^2} \right)} \\
&= \pm \frac{b}{a} x
\end{align*}

이다. 따라서 쌍곡선은 $ x $가 원점에서 멀어질수록

\begin{align*}
y= \pm \frac{b}{a}x
\end{align*}

에 가까워지는데, 이를 쌍곡선의 점근선이라 한다.