수학 공식 | 고등학교 > 확률의 뜻과 기본 성질
용어의 정의 1
- 시행
같은 조건에서 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰 - 표본공간
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합 - 사건
표본공간의 부분집합 - 근원사건
한 개의 원소로 이루어진 집합 - 전사건
어떤 시행에서 반드시 일어나는 사건 $ \rightarrow $ 표본공간 - 공사건
어떤 시행에서 절대로 일어나지 않는 사건 $ \rightarrow $ $ \emptyset $
한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 표본공간을 구하여라. (단, 동전의 앞면은 $ H $, 뒷면은 $ T $로 나타낸다.)
$ { \{ (H, \ H), \ (H, \ T), \ (T, \ H), \ (T, \ T) \} } $
한 개의 주사위를 던지는 시행에서 사건의 개수를 구하여라.
표본공간의 원소의 개수가 $ 6 $이므로, 사건(부분집합)의 개수는 $ 2^6=64 $
용어의 정의 2
두 사건 $ A $, $ B $에 대하여
- 합사건
$ A $ 또는 $ B $가 일어나는 사건 $ \rightarrow $ $ A \cup B $ - 곱사건
$ A $와 $ B $가 동시에 일어나는 사건 $ \rightarrow $ $ A \cap B $ - 배반사건
$ A \cap B = \emptyset $일 때 $ A $와 $ B $는 서로 배반사건이라고 한다. - 여사건
$ A $가 일어나지 않는 사건 $ \rightarrow $ $ A^c $
주사위를 한 개 던지는 시행에서 홀수의 눈이 나오는 사건을 $ A $, 소수의 눈이 나오는 사건을 $ B $라고 하자.
- $ A $와 $ B $의 합사건을 구하여라.
- $ A $와 $ B $의 곱사건을 구하여라.
- $ A $의 여사건을 구하여라.
$ A = \{ 1, \ 3, \ 5 \} $, $ B = \{ 2, \ 3, \ 5 \} $
- $ { A \cup B = \{ 1, \ 2, \ 3, \ 5 \} } $
- $ { A \cap B = \{ 3, \ 5 \} } $
- $ { A^c = \{ 2, \ 4, \ 6 \} } $
확률
어떤 시행에서 사건 $ A $가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 사건 $ A $가 일어날 확률이라 하고
\begin{gather*}
\mathrm{P}(A)
\end{gather*}
와 같이 나타낸다.
수학적 확률
어떤 시행에서 표본공간의 원소의 개수를 $ n(S) $, 사건 $ A $의 원소의 개수를 $ n({A}) $라 하면, 사건 $ A $가 발생할 확률 $ \mathrm{P}(A) $는
\begin{align*}
\mathrm{P}(A)=\frac{n({A})}{n({S})}
\end{align*}
이고, 이를 수학적 확률이라 한다.
통계적 확률
일정한 조건에서 같은 시행을 $ n $번 반복하였을 때, 사건 $ A $가 일어난 횟수 $ r_n $이라 하자. 이때 $ n $이 한없이 커짐에 따라 상대도수 $ \dfrac{r_n}{n} $이 일정한 값 $ p $에 가까워지면 $ p $를 사건 $ A $가 일어날 통계적 확률이라고 한다.
실제로 시행 횟수 $ n $을 한없이 크게 할 수 없으므로 시행 횟수 $ n $이 충분히 클 때의 상대도수 $ \dfrac{r_n}{n} $을 보통 그 사건의 통계적 확률로 본다.
확률의 기본 성질
표본공간 $ S $의 임의의 사건 $ A $에 대하여
- $ 0 \leq \mathrm{P}(A) \leq 1 $
- $ \mathrm{P}(S) = 1 $
- $ \mathrm{P}( \varnothing ) = 0 $