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이차방정식 $ax^2+bx+c=0 \ (a>0)$의 판별식 $D$의 부호에 따른 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 이차부등식의 해는 다음과 같다.

$D > 0$일 때

$y = ax^2 + bx + c$의 그래프

 

• $ax^2 + bx + c > 0$의 해 : $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$
• $ax^2 + bx + c \geq 0$의 해 : $x \leq \alpha$ 또는 $x \geq \beta$
• $ax^2 + bx + c < 0$의 해 : $\alpha < x < \beta$
• $ax^2 + bx + c \leq 0$의 해 : $\alpha \leq x \leq \beta$

$D = 0$일 때

$y = ax^2 + bx + c$의 그래프

• $ax^2 + bx + c > 0$의 해 : $x \neq \alpha$인 모든 실수
• $ax^2 + bx + c \geq 0$의 해 : 모든 실수
• $ax^2 + bx + c < 0$의 해 : 없다
• $ax^2 + bx + c \leq 0$의 해 : $x = \alpha$

$D < 0$일 때

$y = ax^2 + bx + c$의 그래프

• $ax^2 + bx + c > 0$의 해 : 모든 실수
• $ax^2 + bx + c \geq 0$의 해 : 모든 실수
• $ax^2 + bx + c < 0$의 해 : 없다
• $ax^2 + bx + c \leq 0$의 해 : 없다

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 판별식을 $D$라 할 때

1. 모든 실수 $x$에 대하여 $ax^2 + bx + c > 0$이 성립할 조건
   $$\begin{gather*} a > 0, \ \ D < 0 \end{gather*}$$
2. 모든 실수 $x$에 대하여 $ax^2 + bx + c \geq 0$이 성립할 조건
   $$\begin{gather*} a > 0, \ \ D \leq 0 \end{gather*}$$
3. 모든 실수 $x$에 대하여 $ax^2 + bx + c < 0$이 성립할 조건
   $$\begin{gather*} a < 0, \ \ D < 0 \end{gather*}$$
4. 모든 실수 $x$에 대하여 $ax^2 + bx + c \leq 0$이 성립할 조건
   $$\begin{gather*} a < 0, \ \ D \leq 0 \end{gather*}$$

연립부등식을 이루는 각각의 부등식의 해를 구한 후 이들의 공통부분을 구한다.