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부등식의 문자에 어떤 실수를 대입하여도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다.

$ a $, $ b $가 실수일 때

1. $ a > b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a - b > 0 $
2. $ a^2 \geq 0 $
3. $ a^2 + b^2 \geq 0 $
4. $ a^2 + b^2 = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ a = b = 0 $
5. $ |a|^2 = a^2, \ \ |a||b| = |ab|, \ \ |a| \geq a $
6. $ a > 0, \ \ b > 0 $일 때, $ a > b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a^2 > b^2 $

$ a $, $ b $, $ c $가 실수일 때

1. $ a^2 + ab + b^2 \geq 0 $ (단, 등호는 $ a = b = 0 $일 때 성립)
2. $ a^2 - ab + b^2 \geq 0 $ (단, 등호는 $ a = b = 0 $일 때 성립)
3. $ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0 $ (단, 등호는 $ a=b=c $일 때 성립)
4. $ |a| + |b| \geq |a+b| $ (단, 등호는 $ ab \geq 0 $일 때 성립)
5. $ |a-b| \geq |a|-|b| $ (단, 등호는 $ ab \geq 0 $일 때 성립)

양수 $ a $, $ b $에 대하여

\begin{gather*}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
\end{gather*}

단, 등호는 $ a=b $일 때 성립한다.

실수 $ a $, $ b $, $ x $, $ y $에 대하여

\begin{gather*}
( a^2 + b^2 )( x^2 + y^2 ) \geq ( ax + by )^2
\end{gather*}

단, 등호는 $ ay=bx $일 때 성립한다.