수학 공식 | 고등학교 > 등비급수

첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열 $\left\{ ar^{n-1} \right\}$ 에서 얻은 급수

$\begin{gather*} \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots \end{gather*}$

을 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비급수라고 한다. (단, $a \neq 0$ )

등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 은 $|r| < 1$ 일 때 수렴하고, 그 합은

$\begin{gather*} \dfrac{a}{1-r} \end{gather*}$

이다. (단, $a \neq 0$ )

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 이 수렴할 조건은 $a = 0$ 또는 $-1 < r < 1$ 이다.

다음 급수가 수렴할 조건을 구하여라.

$\begin{gather*} \sum_{n=1}^{\infty} (x-1)(x-3)^{n-1} \end{gather*}$

$x-1=0$ 이면 수렴하므로 $x=1$

$-1 < x-3 < 1$ 이면 수렴하므로 $2 < x < 4$

$\therefore \ \ \ x=1$ 또는 $2 < x < 4$

다음 급수의 합을 구하여라.

$\begin{gather*} \sum_{n=1}^{\infty} 4 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \end{gather*}$

등비수열의 첫째항이 $4$ , 공비가 $\dfrac{1}{2}$ 이므로

$\begin{gather*} \frac{4}{1 - \dfrac{1}{2}} = 8 \end{gather*}$

JB2018/04/18 00:48수학 공식

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