수학 공식 | 고등학교 > 음함수의 미분법
음함수
일반적으로방정식 $ f(x, \ y) = 0 $은 $ x $와 $ y $가 정의되는 구간을 적당히 정하면 $ y $는 $ x $에 대한 함수가 된다. 이와 같이 $ x $에 대한 함수 $ y $가 방정식 $ f(x, \ y)=0 $의 꼴로 주어졌을 때, $ y $는 $ x $의 음함수 꼴로 표현되었다고 한다.
음함수의 미분법
$ x $의 함수 $ y $가 음함수 $ f(x, \ y)=0 $의 꼴로 주어져 있을 때에는 $ y $를 $ x $의 함수로 보고 각 항을 $ x $에 대하여 미분한 후 $ \dfrac{dy}{dx} $를 구한다.
음함수 $ x^2 + y^2 - 1 = 0 $의 도함수 $ \dfrac{dy}{dx} $를 구하여라.
양변을 $ x $에 대하여 미분하고 정리한다.
\begin{align*}
& \dfrac{d}{dx} (x^2) + \dfrac{d}{dx} (y^2) - \dfrac{d}{dx} (1) = \dfrac{d}{dx} (0) \\
& 2x + \frac{d}{dy} (y^2) \cdot \dfrac{dy}{dx} = 0 \\
& 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \\
& \therefore \ \ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y}
\end{align*}
2018/03/15 11:02수학 공식