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수학 공식 | 고등학교 > 삼각함수의 뜻과 그래프

삼각함수

반지름의 길이가 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 동경 OP가 나타내는 일반각의 크기를 θ라 할 때

sinθ=yr,  cosθ=xr,  tanθ=yx

삼각함수의 값의 부호

삼각함수 사이의 관계

  1. tanθ=sinθcosθ
  2. sin2θ+cos2θ=1
  1. tanθ=yx=y/rx/r=sinθcosθ
  2. sin2θ+cos2θ=y2r2+x2r2=x2+y2r2=r2r2=1

삼각함수의 성질

  1. sin(2nπ+θ)=sinθ
    cos(2nπ+θ)=cosθ
    tan(2nπ+θ)=tanθ
  2. sin(θ)=sinθ
    cos(θ)=cosθ
    tan(θ)=tanθ
  3. sin(π+θ)=sinθ
    cos(π+θ)=cosθ
    tan(π+θ)=tanθ
  4. sin(πθ)=sinθ
    cos(πθ)=cosθ
    tan(πθ)=tanθ
  5. sin(π2+θ)=cosθ
    cos(π2+θ)=sinθ
    tan(π2+θ)=1tanθ
  6. sin(π2θ)=cosθ
    cos(π2θ)=sinθ
    tan(π2θ)=1tanθ

삼각함수의 각 변형 방법

  1. 각 변형하기
    주어진 각을 90×n±α 또는 π2×n±θ의 꼴로 변형한다. (단, n은 정수)
  2. 삼각함수 정하기
    n이 짝수이면 그대로, n이 홀수이면 sincos으로, cossin으로, tan1tan로 바꾼다.
  3. 부호 정하기
    α, θ를 예각으로 간주하고, 처음 주어진 삼각함수의 부호를 따른다.

다음 식을 간단히 하여라.

sin(π+θ)+cos(πθ)+sin(π2+θ)+cos(π2θ)

sinθcosθ+cosθ+sinθ=0

주기와 주기함수

상수함수가 아닌 함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여

f(x+p)=f(x)

를 만족하는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, 함수 f(x)를 주기함수라 하고, 상수 a의 값 중 최소의 양수를 주기라고 한다.

삼각함수의 그래프

삼각함수의 그래프의 성질

함수 f(x)=asinbx+c의 최댓값은 5, 최솟값은 3, 주기는 4π이다. f(π)의 값을 구하여라. (단, a>0, b>0)

최댓값이 5이므로 a+c=5

최솟값이 3이므로 a+c=3

주기가 4π이므로 2πb=4π

   a=4,  b=12,  c=1

f(x)=4sin12x+1이므로

f(π)=4sinπ2+1=5

삼각방정식

삼각함수의 각의 크기를 미지수로 하는 방정식을 삼각방정식이라 한다.

삼각방정식의 풀이

  1. 주어진 방정식을 sinx=k (cosx=k, tanx=k)의 꼴로 바꾼다.
  2. 주어진 범위에서 y=sinx (y=cosx, y=tanx)의 그래프와 직선 y=k를 그린다.
  3. 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 방정식의 해이다.

0x2π일 때, 다음 방정식의 해를 구하여라.

sinx=12

방정식의 해는 x=π6 또는 x=56π이다.

삼각부등식

삼각함수의 각의 크기를 미지수로 하는 부등식을 삼각부등식이라 한다.

삼각부등식의 풀이

  1. 주어진 부등식을 sinx>k (cosx>k, tanx>k) 등의 꼴로 바꾼다.
  2. 주어진 범위에서 y=sinx (y=cosx, y=tanx)의 그래프와 직선 y=k를 그린다.
  3. 그래프를 이용하여 부등식의 해를 구한다.

0x2π일 때, 다음 방정식의 해를 구하여라.

cosx<12

부등식의 해는 π3<x<53π이다.