수학 공식 | 고등학교 > 삼각함수의 뜻과 그래프
삼각함수
반지름의 길이가 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 동경 OP가 나타내는 일반각의 크기를 θ라 할 때
sinθ=yr, cosθ=xr, tanθ=yx
삼각함수의 값의 부호
삼각함수 사이의 관계
- tanθ=sinθcosθ
- sin2θ+cos2θ=1
- tanθ=yx=y/rx/r=sinθcosθ
- sin2θ+cos2θ=y2r2+x2r2=x2+y2r2=r2r2=1
삼각함수의 성질
- sin(2nπ+θ)=sinθ
cos(2nπ+θ)=cosθ
tan(2nπ+θ)=tanθ - sin(−θ)=−sinθ
cos(−θ)=cosθ
tan(−θ)=−tanθ - sin(π+θ)=−sinθ
cos(π+θ)=−cosθ
tan(π+θ)=tanθ - sin(π−θ)=sinθ
cos(π−θ)=−cosθ
tan(π−θ)=−tanθ - sin(π2+θ)=cosθ
cos(π2+θ)=−sinθ
tan(π2+θ)=−1tanθ - sin(π2−θ)=cosθ
cos(π2−θ)=sinθ
tan(π2−θ)=1tanθ
삼각함수의 각 변형 방법
- 각 변형하기
주어진 각을 90∘×n±α∘ 또는 π2×n±θ의 꼴로 변형한다. (단, n은 정수) - 삼각함수 정하기
n이 짝수이면 그대로, n이 홀수이면 sin은 cos으로, cos은 sin으로, tan는 1tan로 바꾼다. - 부호 정하기
α∘, θ를 예각으로 간주하고, 처음 주어진 삼각함수의 부호를 따른다.
다음 식을 간단히 하여라.
sin(π+θ)+cos(π−θ)+sin(π2+θ)+cos(π2−θ)
−sinθ−cosθ+cosθ+sinθ=0
주기와 주기함수
상수함수가 아닌 함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여
f(x+p)=f(x)
를 만족하는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, 함수 f(x)를 주기함수라 하고, 상수 a의 값 중 최소의 양수를 주기라고 한다.
삼각함수의 그래프
삼각함수의 그래프의 성질
함수 f(x)=asinbx+c의 최댓값은 5, 최솟값은 −3, 주기는 4π이다. f(π)의 값을 구하여라. (단, a>0, b>0)
최댓값이 5이므로 a+c=5
최솟값이 −3이므로 −a+c=−3
주기가 4π이므로 2πb=4π
∴ a=4, b=12, c=1
f(x)=4sin12x+1이므로
f(π)=4sinπ2+1=5
삼각방정식
삼각함수의 각의 크기를 미지수로 하는 방정식을 삼각방정식이라 한다.
삼각방정식의 풀이
- 주어진 방정식을 sinx=k (cosx=k, tanx=k)의 꼴로 바꾼다.
- 주어진 범위에서 y=sinx (y=cosx, y=tanx)의 그래프와 직선 y=k를 그린다.
- 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 방정식의 해이다.
0≤x≤2π일 때, 다음 방정식의 해를 구하여라.
sinx=12
방정식의 해는 x=π6 또는 x=56π이다.
삼각부등식
삼각함수의 각의 크기를 미지수로 하는 부등식을 삼각부등식이라 한다.
삼각부등식의 풀이
- 주어진 부등식을 sinx>k (cosx>k, tanx>k) 등의 꼴로 바꾼다.
- 주어진 범위에서 y=sinx (y=cosx, y=tanx)의 그래프와 직선 y=k를 그린다.
- 그래프를 이용하여 부등식의 해를 구한다.
0≤x≤2π일 때, 다음 방정식의 해를 구하여라.
cosx<12
부등식의 해는 π3<x<53π이다.
2018/07/03 11:47수학 공식