수학 공식 | 고등학교 > 몫의 미분법

몫의 미분법

두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 가 미분가능하고 $g(x) \neq 0$ 일 때

$\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$
$\left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\}' = -\dfrac{g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$

⑴의 증명

$\begin{align*} \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\}' & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)} \right\} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h) g(x)} \right\} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h) g(x)} \right\} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x) - f(x) \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)} \\ & = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g(x)'}{\{ g(x) \}^2} \end{align*}$

⑵의 증명

$\begin{align*} \left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\}' = \frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{\{ g(x) \}^2} = - \frac{g'(x)}{\{ g(x) \}^2} \end{align*}$

함수 $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 + 1}$ 의 도함수 $f'(x)$ 를 구하여라.

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2 + 2x)'(x^2 + 1) - (x^2 + 2x) (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} & \\ &= \frac{(2x + 2)(x^2 + 1) - (x^2 + 2x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned}$

함수 $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - x + 1}$ 의 도함수 $f'(x)$ 를 구하여라.

$f'(x) = - \dfrac{(x^2 - x + 1)'}{(x^2 - x + 1)^2} = \dfrac{-2x+1}{(x^2 - x + 1)^2}$

$\boldsymbol{ x^n }$ ( $\boldsymbol{ n }$ 은 정수)의 도함수

$n$ 이 정수일 때 $x^{n}$ 의 도함수는

$\begin{gather*} \left\{ x^{n} \right\}' = n x^{n-1} \end{gather*}$

$n$ 이 양의 정수일 때 성립

$n=0$ 일 때 $( x^0 )' = 0 \cdot x^{0-1} = 0$ 이므로 성립

$n$ 이 음의 정수일 때 $n = -m$ ( $m$ 은 양의 정수)로 놓을 수 있고

$\begin{gather*} \left\{ x^{-m} \right\}' = \left\{ \frac{1}{x^m} \right\}' = - \frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = - mx^{-m-1} = n x^{n-1} \end{gather*}$

이므로 성립

함수 $f(x) = \dfrac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}$ 의 도함수를 구하여라.

$f(x) = x^2 + 1 + x^{-2}$

$f'(x) = 2x -2 x^{-3}$

여러 가지 삼각함수의 도함수

$\left\{ \tan x \right\}' = \sec^2 x$
$\left\{ \cot x \right\}' = -\csc^2 x$
$\left\{ \csc x \right\}' = -\csc x \cot x$
$\left\{ \sec x \right\}' = \sec x \tan x$

⑴의 증명

$\begin{align*} \left\{ \tan x \right\}' &= \left\{ \frac{\sin x}{\cos x} \right\}' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} & \\ &= \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \end{align*}$

⑵의 증명

$\begin{align*} \left\{ \cot x \right\}' &= \left\{ \frac{\cos x}{\sin x} \right\}' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} & \\ &= \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = - \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \end{align*}$

⑶의 증명

$\begin{align*} \left\{ \csc x \right\}' &= \left\{ \frac{1}{\sin x} \right\}' = -\frac{(\sin x)'}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} &\\ & = - \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x \end{align*}$

⑷의 증명

$\begin{align*} \left\{ \sec x \right\}' &= \left\{ \frac{1}{\cos x} \right\}' = -\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x} = -\frac{-\sin x}{\cos^2 x} &\\ & = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x \end{align*}$

JB2018/06/30 19:59수학 공식

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