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삼각함수의 미분, 즉 삼각함수의 도함수를 알아볼 거에요. 삼각함수의 미분은 이과 과정이니까 문과는 몰라도 됩니다.

사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수, 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수 6개의 도함수를 구할 건데, 유도 과정 없이 결과만 알고 싶다면 밑으로 주욱 내려가세요.

사인함수의 도함수

사인함수의 도함수는 도함수의 정의

\begin{gather*}
f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\end{gather*}

를 이용해서 구합니다. $ f(x) = \sin x $라 하면

\begin{gather*}
( \sin x )' = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x+h) - \sin x}{h}
\end{gather*}

이고, $ \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $이므로

\begin{align*}
( \sin x )' & = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h - \sin x ( 1 - \cos h ) }{h} \\
& = \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h}
\end{align*}

입니다.

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1
\end{gather*}

이고

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h (1+\cos h)} \\
& = \lim_{h \to 0} \left( \sin h \cdot \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{1+\cos h} \right) \\
& = 0 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \\
& = 0
\end{align*}

이므로

\begin{align*}
( \sin x )' & = \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} \\
& = \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 \\
& = \cos x
\end{align*}

입니다.

코사인함수의 도함수

코사인함수의 도함수도 사인함수와 마찬가지로 도함수의 정의를 이용해서 구합니다.

\begin{gather*}
( \cos x )' = \lim_{h \to 0} \frac{ \cos(x+h) - \cos x}{h}
\end{gather*}

이고, $ \cos (x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h $이므로

\begin{align*}
( \cos x )' & = \lim_{h \to 0} \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{ - \sin x \sin h - \cos x ( 1 - \cos h ) }{h} \\
& = - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} - \cos x \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h}
\end{align*}

입니다.

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1
\end{gather*}

이고

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} = 0
\end{align*}

이므로

\begin{align*}
( \cos x )' & = - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} - \cos x \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} \\
& = - \sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0 \\
& = - \sin x
\end{align*}

입니다.

탄젠트함수의 도함수

탄젠트함수의 도함수는 몫의 미분법으로 구합니다.

\begin{align*}
\left\{ \tan x \right\}' &= \left\{ \frac{\sin x}{\cos x} \right\}' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} & \\
&= \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \\
& = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \\
& = \sec^2 x
\end{align*}

코시컨트함수의 도함수

코시컨트함수의 도함수는 몫의 미분법으로 구합니다.

\begin{align*}
\left\{ \csc x \right\}' &= \left\{ \frac{1}{\sin x} \right\}' = -\frac{(\sin x)'}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \\
& = - \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\
&= -\csc x \cot x
\end{align*}

시컨트함수의 도함수

시컨트함수의 도함수는 몫의 미분법으로 구합니다.

\begin{align*}
\left\{ \sec x \right\}' &= \left\{ \frac{1}{\cos x} \right\}' = -\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x} \\
& = -\frac{-\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\
& = \sec x \tan x
\end{align*}

코탄젠트함수의 도함수

코탄젠트함수의 도함수는 몫의 미분법으로 구합니다.

\begin{align*}
\left\{ \cot x \right\}' &= \left\{ \frac{\cos x}{\sin x} \right\}' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} & \\
&= \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} \\
& = - \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} \\
& = -\csc^2 x
\end{align*}