수학 공식 | 고등학교 > 나머지정리와 인수정리

$x$ 에 대한 다항식 $f(x)$ 에 대하여

$f(x)$ 를 일차식 $x - \alpha$ 로 나눈 나머지를 ${R}$ 이라 하면
$\begin{gather*} {R} = f ( \alpha ) \end{gather*}$
$f(x)$ 를 일차식 $ax + b$ 로 나눈 나머지를 ${R}$ 이라 하면
$\begin{gather*} {R} = f \left( - \frac{b}{a} \right) \end{gather*}$

$x$ 에 대한 다항식 $f(x)$ 를 $x-\alpha$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$ , 나머지를 $R$ 이라 하면
$\begin{gather*} f(x) = ( x-\alpha ) Q(x) + R \end{gather*}$ $x = \alpha$ 를 대입하면
$\begin{gather*} f(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f(\alpha) \end{gather*}$
$x$ 에 대한 다항식 $f(x)$ 를 $ax+b$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$ , 나머지를 $R$ 이라 하면
$\begin{gather*} f(x) = ( ax+b ) Q(x) + R \end{gather*}$ 이고, 양변에 $x = - \dfrac{b}{a}$ 를 대입하면
$\begin{gather*} f \left( - \dfrac{b}{a} \right) = 0 \cdot Q \left( - \dfrac{b}{a} \right) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f \left( - \dfrac{b}{a} \right) \end{gather*}$

$x$ 에 대한 다항식 $f(x) = x^3 + ax^2 - 2x + 4$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때의 나머지는 $4$ 일 때, 이 다항식을 $x-1$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

$x-2$ 로 나누었을 때의 나머지가 $4$ 이므로 $f(2)=4$

$f(2) = 8 + 4a - 4 + 4 = 4 \ \ \ \therefore \ \ a=-1$

$f(x)$ 를 $x-1$ 로 나누었을 때의 나머지는 $f(1)$ 이므로

$f(1) = 1 + (-1) - 2 + 4 = 2$

$x$ 에 대한 다항식 $f(x)$ 에 대하여

다항식 $x^6 + ax^5 +bx^4 + 4$ 가 $x-1$ 과 $x+1$ 을 인수로 가질 때, 상수 $a$ , $b$ 의 값을 구하여라.

$f(x) = x^6 + ax^5 +bx^4 + 4$ 로 놓으면, $f(1) = 0$ , $f(-1) = 0$

$f(1) = 1 + a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a + b = -5$

$f(-1) = 1 - a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a - b = 5$

연립하여 $a$ , $b$ 의 값을 구하면 $a=0$ , $b=-5$

JB2018/01/12 14:15수학 공식

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