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헤론의 공식(Heron's Formula)은 삼각형의 넓이를 구하는 공식 중의 하나로, 고대 그리스의 수학자 헤론이 만들었다고 합니다. 헤론의 공식을 이용하면 삼각형의 세 변의 길이만 가지고 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

삼각형의 두 변의 길이 $a$, $b$와 끼인각 $\mathrm{C}$의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 $\mathrm{S}$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\begin{gather*} \mathrm{S} = \frac{1}{2} ab \sin \mathrm{C} \end{gather*}$$

$\sin^2 \mathrm{C} + \cos^2 \mathrm{C} = 1$이고, 제2코사인법칙에 의해서 $\cos \mathrm{C}$는

$$\begin{gather*} \cos \mathrm{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{gather*}$$

이므로 $\sin \mathrm{C}$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\begin{gather*} \sin \mathrm{C} = \sqrt{1 - \cos^2 \mathrm{C}} = \sqrt{1 - \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)^2} \end{gather*}$$

이를 삼각형의 넓이를 구하는 공식에 대입합니다.

$$\begin{gather*} \mathrm{S} = \frac{1}{2} ab \sqrt{1 - \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)^2} \end{gather*}$$

$a+b+c=2s$로 치환한 후 정리하면 다음과 같이 헤론의 공식이 만들어집니다.

$$\begin{gather*} \mathrm{S} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ \ \left( s = \frac{a+b+c}{2} \right) \end{gather*}$$