MATH FACTORY

정의역이 유한집합일 때, 조건에 맞게 만들 수 있는 함수의 개수를 묻는 문제가 출제된다. 좀 더 복잡한 문제는 순열과 조합에서 다룬다.

정의역이 $ \{ x_1, \ x_2, \ \cdots, \ x_m \} $, 공역이 $ \{ y_1, \ y_2, \ \cdots, \ y_n \} $일 때, 함수의 개수를 세보면 다음과 같다.

함수의 개수

정의역의 서로 다른 원소가 공역의 같은 원소에 대응해도 함수가 된다. 따라서,

$ x_1 $이 대응할 수 있는 원소는 $ n $가지
$ x_2 $가 대응할 수 있는 원소는 $ n $가지
$ \vdots $
$ x_m $이 대응할 수 있는 원소는 $ n $가지

이므로, 만들 수 있는 함수의 개수는

\begin{gather*}
n^m
\end{gather*}

이다.

일대일함수의 개수

일대일함수는 정의역의 원소가 다르면 대응하는 공역의 원소도 달라야 한다. 따라서,

$ x_1 $이 대응할 수 있는 원소는 $ n $가지
$ x_2 $가 대응할 수 있는 원소는 $ n-1 $가지
$ \vdots $
$ x_m $이 대응할 수 있는 원소는 $ n-m+1 $가지

이므로, 만들 수 있는 함수의 개수는

\begin{gather*}
n (n-1) \cdots (n-m+1)
\end{gather*}

이다. (단, $ m \leq n $)

상수함수의 개수

상수함수는 정의역의 모든 원소가 공역의 하나의 원소에 대응하는 것이므로, $ n $가지 만들 수 있다.