단조수열, 유계수열, 단조수렴정리
단조수열
단조증가수열
모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < a_{n+1} $을 만족하는 수열, 즉
\begin{gather*}
a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n < a_{n+1} < \cdots
\end{gather*}
인 수열 $ \{ a_n \} $을 단조증가수열(monotone increasing sequence)이라 합니다.
단조감소수열
모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n > a_{n+1} $을 만족하는 수열, 즉
\begin{gather*}
a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > a_n > a_{n+1} > \cdots
\end{gather*}
인 수열 $ \{ a_n \} $을 단조감소수열(monotone decreasing sequence)이라 합니다.
단조수열
단조증가수열과 단조감소수열을 합하여 단조수열(monotone sequence)이라 합니다.
유계수열
위로 유계
모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq M $을 만족하는 $ M $이 존재할 때, 수열 $ \{ a_n \} $은 위로 유계(bounded above)라 합니다.
이때, $ M $을 상계(upper bound)라 하고, 상계의 최솟값을 최소 상계(least upper bound)라 합니다.
아래로 유계
모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \geq m $을 만족하는 $ m $이 존재할 때, 수열 $ \{ a_n \} $은 아래로 유계(bounded below)라 합니다.
이때, $ m $을 하계(lower bound)라 하고, 하계의 최댓값을 최대 하계(greatest lower bound)라 합니다.
유계
모든 자연수 $ n $에 대하여 $ m \leq a_n \leq M $을 만족하는 $ m $과 $ M $이 존재할 때, 즉 위로 유계이면서 아래로 유계일 때 수열 $ \{ a_n \} $은 유계(bounded)라 합니다.
단조수렴정리(monotone convergence theorem)
단조증가하면서 위로 유계인 수열은 수렴합니다. 그리고, 단조감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴합니다.