수학 공식 | 고등학교 > 역함수의 미분법
역함수의 미분법
미분가능한 함수 $ f(x) $의 역함수 $ f^{-1} (x) $가 존재하고 미분가능할 때, $ y = f^{-1} (x) $의 도함수는
\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} \ \ \textrm{또는} \ \ ( f^{-1} )'(x) = \frac{1}{f'(y)}
\end{gather*}
함수 $ y = \sqrt[3]{x+1} $에서 $ \dfrac{dy}{dx} $를 구하여라.
양변을 세제곱한 후 정리하면
\begin{gather*}
x = y^3 - 1
\end{gather*}
양변을 $ y $에 대하여 미분하면
\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = 3 y^2 = 3(\sqrt[3]{x+1})^2
\end{gather*}
따라서
\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x+1})^2}
\end{gather*}
함수 $ f(x) = x^3 + x $의 역함수의 도함수 $ (f^{-1})'(x) $를 구하여라.
$ y = f^{-1}(x) $로 놓으면 $ x = f(y) $이므로
\begin{gather*}
x = y^3 + y
\end{gather*}
이고, 양변을 $ y $에 대하여 미분하면
\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = 3y^2 + 1
\end{gather*}
이므로
\begin{gather*}
(f^{-1})'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{3y^2 + 1}
\end{gather*}
$ \boldsymbol{ (f^{-1})'(p) } $를 구하는 순서
- $ f(a) = p $를 만족하는 $ a $를 구한다.
- $ f'(a) $를 구한다.
- $ f'(a) $의 역수를 구한다.
함수 $ f(x) = x^3 + x + 1 $일 때, $ (f^{-1})'(3) $의 값을 구하여라.
$ f^{-1}(3) = a $라 하면 $ f(a) = 3 $이므로
\begin{gather*}
a^3 + a + 1 = 3 \ \ \ \therefore \ \ a = 1
\end{gather*}
$ f'(x) = 3x^2 + 1 $이므로 $ f'(1) = 4 $
\begin{gather*}
(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}
\end{gather*}